一、基础概念层
- 向量运算
- 点积（内积）
- 公式：a·b = Σ(aᵢbᵢ)
- 应用：计算夹角、投影（图形学光照计算）
- 叉积（三维）
- 公式：a×b = [a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁]
- 应用：求平面法向量（3D建模）
- 矩阵基本操作
- 乘法规则
Cᵢⱼ = Σ(AᵢₖBₖⱼ) - 关键：仅当A列数=B行数时可乘
- 转置
(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ - 应用：神经网络权重更新
二、核心理论层
- 矩阵求逆
- 可逆条件：det(A) ≠ 0
- 2×2矩阵公式：
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A⁻¹ = (1/det(A)) * [d -b; -c a] - 应用：解线性方程组 Ax = b → x = A⁻¹b
- 行列式
- 几何意义：线性变换的缩放因子
- 计算方法：
- 2×2：det(A) = ad - bc
- 3×3：对角线法则（Sarrus规则）
- 特征值与特征向量
- 定义：Av = λv
- 求解步骤：
- 解特征方程 det(A - λI) = 0
- 对每个λ求(A - λI)v = 0
- 应用：PCA降维、物理系统稳定性分析
三、几何应用层
- 线性变换
- 旋转矩阵（2D）：
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[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ] - 缩放矩阵：
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[sx 0]
[0 sy]
- 齐次坐标（图形学关键）
- 3D点表示为[x, y, z, 1]
- 变换矩阵示例（平移）：
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[1 0 0 tx]
[0 1 0 ty]
[0 0 1 tz]
[0 0 0 1]
四、数值计算层
- 矩阵分解
- LU分解：解方程组的高效方法
- QR分解：最小二乘拟合
- SVD分解：推荐系统、图像压缩
- 稀疏矩阵优化
- CSR存储格式：
- 非零值数组：data = [a, b, c, d]
- 行指针：row_ptr = [0, 2, 3]
- 列索引：col_idx = [0, 1, 0]
五、现代应用领域
- 计算机图形学
- MVP矩阵：Model × View × Projection
- 法线变换：(M⁻¹)ᵀ·n
- 机器学习
- 梯度下降：w = w - α(XᵀX)⁻¹Xᵀy
- 卷积运算：本质是稀疏矩阵乘法
- 量子计算
- 量子门操作表示为酉矩阵（U†U = I）
六、关键公式速查表
| 概念 | 公式 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 点积 | a·b = |a||b|cosθ | 光照计算 |
| 叉积模长 | |a×b| = |a||b|sinθ | 计算平行四边形面积 |
| 矩阵迹 | tr(A) = ΣAᵢᵢ | 特征值求和 |
| 伴随矩阵 | adj(A) = Cᵀ (C为余子式矩阵) | 求逆矩阵 |
七、学习路径建议
- 入门：掌握2×2/3×3矩阵运算
- 进阶：理解秩、线性空间、基变换
- 高阶：学习张量运算（深度学习框架底层）
这些知识点构成了从数学基础到工程应用的完整链条，建议通过实际编程（如NumPy/SciPy）深化理解。